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简介
这是一个关于概率论与数理统计课件PPT模板，这节课主要是了解随机事件和概率，随机变量及其数字特征，大数定律和中心极限定理，数理统计的基本概念，参数估计，假设检验等等介绍。随机试验E的所有结果构成的集合称为E的样本空间，记为S={e}，称S中的元素e为基本事件或样本点。对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。它具有以下特性：可以在相同条件下重复进行；事先知道可能出现的结果；进行试验前并不知道哪个试验结果会发生，更多内容，欢迎点击下载概率论与数理统计课件PPT模板哦。
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概率论与数理统计
概率论与数理统计是研究随机现象
数量规律的一门学科。
第一章 随机事件和概率
1.1 随机事件
1.2 概率的定义
1.3 条件概率和乘法公式
1.4 全概率公式和贝叶斯公式
1.5 事件的独立性
第二章 随机变量及其数字特征
2.1 随机变量及其分布
2.2 随机变量的数字特征
2.3 常用的概率分布
第三章 随机向量的分布及数字特征
3.1 随机向量的分布
3.2 随机变量的独立性
3.3 随机向量函数的分布与数学期望
3.4 随机向量的数字特征
第五章 数理统计的基本概念
5.1 总体和样本
5.2 经验分布函数与顺序统计量
5.3 样本分布的数字特征
5.4 n个常用的分布
5.5 常用抽样分布
第六章 参数估计
6.1 参数的点估计
6.2 参数的区间估计
第七章 假设检验
7.1 假设检验的基本概念
7.2 单个正态总体的假设检验
7.3 两个正态总体的假设检验
概 率 论
第一章 概率论的基本概念
关键词：
样本空间
随机事件
频率和概率
条件概率
事件的独立性
§1 随机试验
确定性现象：结果确定
不确定性现象：结果不确定
概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。
它具有以下特性：
可以在相同条件下重复进行
事先知道可能出现的结果
进行试验前并不知道哪个试验结果会发生
§2 样本空间·随机事件
(一)样本空间
定义：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的 样本空间，记为S={e}，
称S中的元素e为基本事件或样本点．
(二) 随机事件
一般我们称S的子集A为E的随机事件A，当且仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。
(三) 事件的关系及运算
事件的关系（包含、相等）
例：
记A={明天天晴}，B={明天无雨}
记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车}
一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}
事件的运算
“和”、“交”关系式
§3 频率与概率
(一)频率
定义：记
其中 —A发生的次数(频数)；n—总试验次 数。称 为A在这n次试验中发生的频率。
例：
中国国家足球队，“冲击亚洲”共进行了n次，其中成功了一次，则在这n次试验中“冲击亚洲”这事件发生的频率为
某人一共听了17次“概率统计”课，其中有15次迟到，记
A={听课迟到}，则
# 频率 反映了事件A发生的频繁程度。
** 频率的性质：
且 随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p．
(二) 概率
定义1： 的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p
定义2：将概率视为测度，且满足：
称P(A)为事件A的概率。
§4古典概型（等可能概型）
定义：若试验E满足：
样本空间中样本点有限(有限性)
出现每一样本点的概率相等(等可能性)
例1 将一颗骰子连掷两次，试求下列事件的概率： （1）两次掷得的点数之和为8； （2）第二次掷得点数为3。
例2：一袋中有8个球，编号为1－8，其中1－3 号为红球，4－8号为黄球，设摸到每一
球的可能性相等，从中随机摸一球，
记A={ 摸到红球 }，求P(A)．
例3：从上例的袋中不放回的摸两球，
记A={恰是一红一黄}，求P(A)．
解：
例7：一单位有5个员工，一星期共七天，老板让每位员工独立地挑一天休息，
求不出现至少有2人在同一天休息的 概率。
解：将5为员工看成5个不同的球，
7天看成7个不同的盒子，
记A={ 无2人在同一天休息 }，
则由上例知：
例4：将n个不同的球，投入N个不同的盒中(n≤N)，设每一球落入各盒 的概率相同，且各盒可放的球数不限，
记A＝{ 恰有n个盒子各有一球 }，求P(A)．
解：
§1.3 条件概率和乘法公式
条件概率的性质：
由上面讨论知，P(B|A)应具有概率的所有性质。
例如：
两个事件的乘法公式
由条件概率的计算公式
多个事件的乘法公式
例 1 已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女孩，求该家庭至少有一个男孩的概率．
定理 1.2 全 概 率 公 式：
设随机事件
全概率公式的证明
由条件：
所以由概率的可列可加性，得
全概率公式的使用
我们把事件B看作某一过程的结果，
Bayes 公 式
设随机事件
Bayes公式的使用
我们把事件B看作某一过程的结果，
例 5
袋中有10个黑球，5个白球．现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白球，求掷出3点的概率．
解：
设：B={ 取出的球全是白球 }
例5（续）
事件独立性的定义
设 A、B 是两个随机事件，如果
3)若随机事件 A 与 B 相互独立，则
例 1
设事件 A 与 B 满足：
由于AB =Φ，所以
例 2（不独立事件的例子）
袋中有 a 只黑球，b 只白球．每次从中取出一球，
取后不放回．令：
A={ 第一次取出白球 }，
B={ 第二次取出白球 }，
则
因此
三个事件的独立性
设A、B、C是三个随机事件，如果
注 意
在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不
可的．即：前三个等式的成立不能推出第四个等
式的成立；反之，最后一个等式的成立也推不出
前三个等式的成立．
例 3
袋中装有 4 个外形相同的球，其中三个球分别涂有红、白、黑色，另一个球涂有红、白、黑三种颜色．现从袋中任意取出一球，令：
A={ 取出的球涂有红色 }
B={ 取出的球涂有白色 }
C={ 取出的球涂有黑色 }
则：
n个事件的相互独立性
说 明
在上面的公式中，
例4：甲、乙两人同时向一目标射击，甲击中 率为0.8，乙击中率为0.7，求目标被 击中的概率。
Bernoulli 试验的例子
对同一目标进行一次射击，若只考虑“击中
目标”与“未击中目标”两种情况，则“同
一目标进行一次射击”是Bernoulli试验．
在某一时间间隔内观察通过某路口的汽车
数，若只考虑“至少通过100辆车”与“至多
通过99辆车”这两种情况，这也是Bernoulli试验．
n重Bernoulli 试验
定义1.9 由一个Bernoulli试验独立重复地进行
形成的试验序列，称作Bernoulli试验序列。
特别地，由一个Bernoulli试验独立重复n次形
成的试验序列称为 n 重Bernoulli 试验．
对同一目标进行n次射击，若每次射击只考虑“击中目标”与“未击中目标”两种情况，则“同一目标进行n次射击”是一n重Bernoulli试验．
在某一时间间隔内观察通过某路口的汽车数，若只考虑“至少通过100辆车”与“至多通过99辆车”这两种情况，这是一次Bernoulli试验．若独立重复地做该试验 n 次，则它是一n重Bernoulli试验．
n重Bernoulli 试验
定理1.7 在Bernoulli试验中，设事件A发生的
概率为p，以Bk表示事件“事件A在第k次试验中
首次发生”，则
定理1.8 （Bernoulli定理）设在一次试验中事
件A发生的概率为p，则n重在Bernoulli试验
中，事件A恰好发生k次的概率为：
例 7 对同一目标进行射击，设每次射击的命中率均为0.23，问至少需进行多少次射击，才能使至少命中一次目标的概率不少于0.95？
解：
设需进行n次射击，才能使至少命中一次目
标的概率不少于0.95．
例 6（续）
总结：
第二章 随机变量及其分布
关键词：
随机变量
概率分布函数
离散型随机变量
连续型随机变量
随机变量的函数
§1 随机变量
* 常见的两类试验结果：
随机变量的定义
定义2.1 设（Ω，F，P）是一概率空间，X=X（ω），
ω∈Ω是定义在Ω上的实值函数，如果对任一实
数x， {ω : X（ω）≤x} ∈F，也即
{ω : X（ω）≤x} 为事件，则称X为一随机变量。
说 明
例 1
掷一颗骰子，令：
X：出现的点数．
则 X 就是一个随机变量．它的取值为1，2，3，4，5，6．
例2
一批产品有 50 件，其中有 8 件次品，42 件正品．现从中取出 6 件，令：
X：取出 6 件产品中的次品数．
则 X 就是一个随机变量．它的取值为 0，1，2，…，6．
例 3
掷一枚硬币，令：
例 4
掷一枚骰子，在例2中，我们定义了随机变量X表示
出现的点数．我们还可以定义其它的随机变量，例
如我们可以定义：
用分布函数计算某些事件的概率
说 明
离散型随机变量可完全由其分布律来刻划．
即离散型随机变量可完全由其可能的取值以及取这些值的概率唯一确定．
注 意
连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量分布律的性质非常相似，但是，密度函数不是概率！
所以有
说 明
⑴．由上述性质可知，对于连续型随机变量，我
们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；
我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．
Example 1
设 X 是连续型随机变量，其密度函数为
eg1（续）
eg1（续）
Example 4
随机变量的函数
(1)、离散型随机变量的函数
第 一 种 情 形
第 二 种 情 形
Example 1
Example1（续）
(2).连续型随机变量函数的分布
例1
一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，
其中只有一个答案是正确的．某学生靠猜测至少能
答对4道题的概率是多少？
解：每答一道题相当于做一次Bernoulli试验，
例 1（续）
所以
分 布 律 的 验 证
⑴ 由条件
几何分布的概率背景
在Bernoulli试验中，
5、超 几 何 分 布
如果随机变量 X 的分布律为
超几何分布的概率背景
对某批N 件产品进行不放回抽样检查 ，其中有 M 件
次品，其余 N-M 件为正品．现从整批产品中随机抽
取 n 件产品。
令： X：取出 n 件产品中的次品数。则 X 的分布律
为
6、Poisson 分布
如果随机变量 X 的分布律为
分布律的验证
⑴ 由于
Poisson分布的应用
Poisson分布是概率论中重要的分布之一．
自然界及工程技术中的许多随机指标都服从Poisson分布．
例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数，等等，在一定条件下，都是服从Poisson分布的．
定理2.6（Poisson定理）
证明： （略）
Poisson定理的证明(续)
对于固定的 k，有
Poisson定理的证明(续)
所以，
Poisson定理的应用
由 Poisson 定理，可知
密度函数的验证
说 明
⑴．类似地，我们可以定义
均匀分布的概率背景
均匀分布的分布函数
2．指 数 分 布
如果随机变量 X 的密度函数为
密度函数的验证
指数分布的分布函数
例 7
例 7（续）
3．正 态 分 布
标准正态分布
密度函数的验证
密度函数的验证(续)
密度函数的验证(续)
密度函数的验证(续)
密度函数的验证(续)
密度函数的验证(续)
正态分布密度函数的图形性质
正态分布密度函数的图形性质（续）
正态分布密度函数的图形性质（续）
正态分布密度函数的图形性质（续）
正态分布的重要性
标准正态分布的计算
标准正态分布的计算（续）
一般正态分布的计算
一般正态分布的计算（续）
例 8
例 10
例 10（续）
Γ- 函 数
复习思考题 2
1.什么量被称为随机变量？它与样本空间的关系如何？
2.满足什么条件的试验称为“n重贝努里试验”？
3.事件A在一次试验中发生的概率为p，0<p<1。若在n次独立重复的试验中，A发生的总次数为X，则X服从什么分布？并请导出：
4.什么条件下使用泊松近似公式等式较为合适？
5.什么样的随机变量称为连续型的？
课件待续!
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