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简介
这是一个关于浙江大学概率论与数理统计课件PPT模板，这节课主要是了解概率论的基本概念，样本空间·随机事件，事件的关系及运算，频率的性质，全概率公式与Bayes公式等等介绍。概率，又称或然率、机会率、机率（几率）或可能性，是概率论的基本概念。概率是对随机事件发生的可能性的度量，一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小。越接近1，该事件更可能发生；越接近0，则该事件更不可能发生。人们常说某人有百分之多少的把握能通过这次考试，某件事发生的可能性是多少，这都是概率的实例。更多内容，欢迎点击下载浙江大学概率论与数理统计课件PPT模板哦。
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概率论与数理统计
概率论与数理统计是研究随机现象
数量规律的一门学科。
第一章 概率论的基本概念
1.1 随机试验
1.2 样本空间
1.3 概率和频率
1.4 等可能概型（古典概型）
1.5 条件概率
1.6 独立性
第二章 随机变量及其分布
2.1 随机变量
2.2 离散型随机变量及其分布
2.3 随机变量的分布函数
2.4 连续型随机变量及其概率密度
2.5 随机变量的函数的分布
第三章 多维随机变量及其分布
3.1 二维随机变量
3.2 边缘分布
3.3 条件分布
3.4 相互独立的随机变量
3.5 两个随机变量的函数的分布
第四章 随机变量的数字特征
4.1 数学期望
4.2 方差
4.3 协方差及相关系数
4.4 矩、协方差矩阵
第五章 大数定律和中心极限定理
5.1 大数定律
5.2 中心极限定理
第六章 数理统计的基本概念
6.1 总体和样本
6.2 常用的分布
第七章 参数估计
7.1 参数的点估计
7.2 估计量的评选标准
7.3 区间估计
第八章 假设检验
8.1 假设检验
8.2 正态总体均值的假设检验
8.3 正态总体方差的假设检验
8.4 置信区间与假设检验之间的关系
8.5 样本容量的选取
8.6 分布拟合检验
8.7 秩和检验
第九章 方差分析及回归分析
9.1 单因素试验的方差分析
9.2 双因素试验的方差分析
9.3 一元线性回归
9.4 多元线性回归
第十章 随机过程及其统计描述
10.1 随机过程的概念
10.2 随机过程的统计描述
10.3 泊松过程及维纳过程
第十一章 马尔可夫链
11.1 马尔可夫过程及其概率分布
11.2 多步转移概率的确定
11.3 遍历性
第十二章 平稳随机过程
12.1 平稳随机过程的概念
12.2 各态历经性
12.3 相关函数的性质
12.4 平稳过程的功率谱密度
概 率 论
第一章 概率论的基本概念
关键词：
样本空间
随机事件
频率和概率
条件概率
事件的独立性
§1 随机试验
确定性现象：结果确定
不确定性现象：结果不确定
概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。
它具有以下特性：
可以在相同条件下重复进行
事先知道可能出现的结果
进行试验前并不知道哪个试验结果会发生
§2 样本空间·随机事件
(一)样本空间
定义：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的 样本空间，记为S={e}，
称S中的元素e为基本事件或样本点．
(二) 随机事件
一般我们称S的子集A为E的随机事件A，当且
仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。
(三) 事件的关系及运算
事件的关系（包含、相等）
例：
记A={明天天晴}，B={明天无雨}
记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车}
一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}
事件的运算
“和”、“交”关系式
§3 频率与概率
(一)频率
定义：记
其中 —A发生的次数(频数)；n—总试验次 数。称 为A在这n次试验中发生的频率。
例：
中国国家足球队，“冲击亚洲”共进行了n次，其中成功了一次，则在这n次试验中“冲击亚洲”这事件发生的频率为
某人一共听了17次“概率统计”课，其中有15次迟到，记
A={听课迟到}，则
# 频率 反映了事件A发生的频繁程度。
** 频率的性质：
且 随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p．
(二) 概率
定义1： 的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p
定义2：将概率视为测度，且满足：
称P(A)为事件A的概率。
§4 等可能概型（古典概型）
定义：若试验E满足：
S中样本点有限(有限性)
出现每一样本点的概率相等(等可能性)
例1：一袋中有8个球，编号为1－8，其中1－3 号为红球，4－8号为黄球，设摸到每一
球的可能性相等，从中随机摸一球，
记A={ 摸到红球 }，求P(A)．
例2：从上例的袋中不放回的摸两球，
记A={恰是一红一黄}，求P(A)．
解：
例4：将n个不同的球，投入N个不同的盒中(n≤N)，设每一球落入各盒 的概率相同，且各盒可放的球数不限，
记A＝{ 恰有n个盒子各有一球 }，求P(A)．
解：
例5：一单位有5个员工，一星期共七天，
老板让每位员工独立地挑一天休息，
求不出现至少有2人在同一天休息的
概率。
解：将5为员工看成5个不同的球，
7天看成7个不同的盒子，
记A={ 无2人在同一天休息 }，
则由上例知：
例6: (抽签问题)一袋中有a个红球，b个白球，记a＋b＝n．
设每次摸到各球的概率相等，每次从袋中摸一球，
不放回地摸n次。
设 { 第k次摸到红球 }，k＝1，2，…，n．求
解1：
解3：
将第k次摸到的球号作为一样本点：
解：假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周
的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来
访者都是在周二、周四的概率为
212/712 =0.000 000 3.
§5 条件概率
例：有一批产品，其合格率为90%，合格品中有85%为 优质品，从中任取一件，
记A={取到一件合格品}， B={取到一件优质品}。
则 P(A)=90% 而P(B)=85.5%
记：P(B|A)=95%
P(A)=0.90 是将整批产品记作1时A的测度
P(B|A)=0.95 是将合格品记作1时B的测度
由P(B|A)的意义，其实可将P(A)记为P(A|S)，而这里的S常常省略而已，P(A)也可视为条件概率
分析：
一、条件概率
定义：
由上面讨论知，P(B|A)应具有概率的所有性质。
例如：
例：某厂生产的产品能直接出厂的概率为70%，余下 的30%的产品要调试后再定，已知调试后有80% 的产品可以出厂，20%的产品要报废。求该厂产 品的报废率。
例：某行业进行专业劳动技能考核，一个月安排一次，每人 最多参加3次；某人第一次参加能通过的概率为60%；如 果第一次未通过就去参加第二次，这时能通过的概率为 80%；如果第二次再未通过，则去参加第三次，此时能通 过的概率为90%。求这人能通过考核的概率。
例：从52张牌中任取2张，采用(1)放回抽样，（2）不放
回抽样，求恰是“一红一黑”的概率。
三、全概率公式与Bayes公式
定义：设S为试验E的样本空间，B1，B2，…，Bn 为E的一组事件。若：
则称B1，B2，…，Bn为S的一个划分，或称为一组完备事件组。
定理：设试验E的样本空间为S，A为E的事件。B1，B2，…，Bn为S的一个划分，P(Bi)>0，i=1，2，…，n；
则称：
* 全概率公式可由以下框图表示：
设 P(Bj)=pj， P(A|Bj)=qj， j=1，2，…，n
易知：
例：一单位有甲、乙两人，已知甲近期出差的概率为80%，
若甲出差，则乙出差的概率为20%；若甲不出差，
则乙出差的概率为90%。(1)求近期乙出差的概率；
(2)若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。
例：根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有5%
的假阳性及5%的假阴性：若设A={试验反应是阳性}， C={被诊断患有癌症}
则有： 已知某一群体 P(C)=0.005，问这种方法能否用于普查？
§6 独立性
例：有10件产品，其中8件为正品，2件为次品。从中取2 次，每次取1件，设Ai={第i次取到正品}，i=1，2
注意：
例：甲、乙两人同时向一目标射击，甲击中 率为0.8，乙击中率为0.7，求目标被 击中的概率。
例：有4个独立元件构成的系统(如图)，设每个元 件能正常运行的概率为p，求系统正常运行的
概率。
总结：
复习思考题 1
1.“事件A不发生，则A=Ф”，对吗？试举例证明之。
2. “两事件A和B为互不相容，即AB=Ф，则A和B互逆”，对吗？ 反之成立吗？试举例说明之。
4. 甲、乙两人同时猜一谜，设A={甲猜中}，B={乙猜中}，
则A∪B={甲、乙两人至少有1人猜中}。若P(A)=0.7，P(B)=0.8，
则“P(A∪B)=0.7+0.8=1.5”对吗？
5. 满足什么条件的试验问题称为古典概型问题？
7.如何理解样本点是两两互不相容的？
8.设A和B为两随机事件，试举例说明P(AB)=P(B|A)表示不同的意义。
10.什么条件下称两事件A和B相互独立？
什么条件下称n个事件A1，A2，…，An相互独立？
11.设A和B为两事件，且P(A)≠0，P(B)≠0，问A和B相互独立、A和B互不相容能否同时成立？试举例说明之。
12.设A和B为两事件，且P(A)=a，P(B)=b，问：
(1) 当A和B独立时，P(A∪B)为何值？
(2) 当A和B互不相容时， P(A∪B)为何值？
13.当满足什么条件时称事件组A1，A2，…，An为样为本空间
的一个划分？
14.设A，B，C为三随机事件，当A≠B，且P(A)≠0， P(B)≠0时，
P(C|A)+P(C|B)有意义吗？试举例说明。
15.设A，B，C为三随机事件，且P(C)≠0，
问P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C)－P(AB|C)是否成立？
若成立，与概率的加法公式比较之。
第二章 随机变量及其分布
关键词：
随机变量
概率分布函数
离散型随机变量
连续型随机变量
随机变量的函数
§1 随机变量
* 常见的两类试验结果：
§2 离散型随机变量及其分布
定义：取值可数的随机变量为离散量
离散量的概率分布(分布律)
例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经 过3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设 各灯为红灯的概率为p，0<p<1，以X表示首次 停车时所通过的交通灯数，求X的概率分布律。
例：从生产线上随机抽产品进行检测，设产品 的次品率为p，0<p<1，若查到一只次品就 得停机检修，设停机时已检测到X只产品， 试写出X的概率分布律。
三个主要的离散型随机变量
0－1(p) 分布
二项分布
例：
1. 独立重复地抛n次硬币，每次只有两个可能的结果：
正面，反面，
设A在n重贝努利试验中发生X次，则
并称X服从参数为p的二项分布，记
例：
设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能有一个人处理。
考虑两种配备维修工人的方法，
其一是由4个人维护，每人负责20台；
其二是由3个人共同维护80台。
试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。
例：某人骑了自行车从学校到火车站，一路上 要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独 立，且设各灯为红灯的概率为p，0<p<1， 以Y表示一路上遇到红灯的次数。
(1)求Y的概率分布律；
(2)求恰好遇到2次红灯的概率。
例：某人独立射击n次，设每次命中率为p，
0<p<1，设命中X次，(1) 求X的概率分布 律；(2) 求至少有一次命中的概率。
例：有一大批产品，其验收方案如下：先作第一次检验， 从中任取10件，经检验无次品接受这批产品，次品数大 于2拒收；否则作第二次检验，从中任取5件，仅当5件 中无次品便接受这批产品，设产品的次品率为p．
求这批产品能被接受的概率L(p)．
泊松分布(Poisson分布)
若随机变量X的概率分布律为
称X服从参数为λ的泊松分布，记
§3 随机变量的分布函数
例：
解：
§4 连续型随机变量及其概率密度
定义： 对于随机变量X的分布函数 若存在 非负的函数 使对于任意实数
有：
与物理学中的质量线密度的定义相类似
例：设X的概率密度为
(1)求常数c的值； (2) 写出X的概率分布函数；
(3) 要使 求k的值。
解：
几个重要的连续量
均匀分布
定义：X具有概率密度
称X在区间(a，b)上服从均匀分布，
记为X～U(a，b)
例：在区间(-1，2)上随机取一数X，试写出X的概率
密度。并求 的值；
若在该区间上随机取10个数，求10个数中恰有
两个数大于0的概率。
指数分布
定义：设X的概率密度为
其中λ>0为常数，则称X服从参数为λ的指数分布。记为
正态分布
定义：设X的概率密度为
其中 为常数，称X服从参数为
的正态分布(Gauss分布)，
记为
可以验算：
称μ为位置参数(决定对称轴位置)
σ为尺度参数(决定曲线分散性)
X的取值呈中间多，两头少，对称的特性。
当固定μ时，σ越大，曲线的峰越低，落在μ附近的概率越小，取值就越分散，
∴ σ是反映X的取值分散性的一个指标。
在自然现象和社会现象中，大量随机变量服从或近似服从正态分布。
例：
例：一批钢材(线材)长度
(1)若μ=100，σ=2，求这批钢材长度小于97.8cm 的概率；(2)若μ=100，要使这批钢材的长度至少 有90%落在区间(97，103)内，问σ至多取何值？
例：设某地区男子身高
(1) 从该地区随机找一男子测身高，求他的身高大于
175cm的概率；(2) 若从中随机找5个男子测身高，问至 少有一人身高大于175cm的概率是多少？恰有一人身 高大于175cm的概率为多少？
§5 随机变量的函数分布
问题：已知随机变量X的概率分布，
且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。
例：设随机变量X具有概率密度
求Y=X2的概率密度。
一般，若已知X的概率分布，Y=g(X)，求Y的 概率分布的过程为：
例：设
Y=2X，Z=X2，求Y，Z的概率分布。
例：
例：
复习思考题 2
1.什么量被称为随机变量？它与样本空间的关系如何？
2.满足什么条件的试验称为“n重贝努里试验”？
3.事件A在一次试验中发生的概率为p，0<p<1。若在n次独立重复的试验中，A发生的总次数为X，则X服从什么分布？并请导出：
4.什么条件下使用泊松近似公式等式较为合适？
5.什么样的随机变量称为连续型的？
6.若事件A为不可能事件，则P(A)=0，反之成立吗？又若A为必然事件，
则P(A)=1，反之成立吗？
7.若连续型随机变量X在某一区间上的概率密度为0，则X落在该区间
的概率为0，对吗？
8.若随机变量X在区间(a，b)上均匀分布，则X落入(a，b)的任意一子区间
(a1，b1)上的概率为(b1-a1)/(b-a)，对吗？
9.若X～N(μ，σ2)，则X的概率密度函数f(x)在x=μ处值最大，因此X落在μ附近的概率最大，对吗？
概率论完
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