概率论与数理统计沈恒范ppt

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uW5红软基地
《概率论与数理统计教程》    (第四版)uW5红软基地
高等教育出版社 uW5红软基地
                 沈恒范 著uW5红软基地
第一章 随机事件及其概率 uW5红软基地
学习内容uW5红软基地
§1.1    随机事件及样本空间uW5红软基地
§1.2    概率的几种定义uW5红软基地
§1.3    事件的关系及运算uW5红软基地
§1.4    概率加法定理uW5红软基地
§1.5    条件概率·概率乘法定理uW5红软基地
§1.6    全概率公式与贝叶斯公式uW5红软基地
§1.7    随机事件的独立性uW5红软基地
§1.8    独立试验序列uW5红软基地
§1.1 随机事件及其样本空间uW5红软基地
随机事件uW5红软基地
样本空间uW5红软基地
一、随机事件uW5红软基地
(1)随机现象uW5红软基地
        自然现象和社会现象可分为两大类,一类是确定现象,另一类是随机现象。uW5红软基地
        随机现象的统计规律性,概率与数理统计就是揭示和应用随机现象统计规律的一门学科。uW5红软基地
(2)随机试验与随机事件uW5红软基地
              为了研究随机现象,就要对客观事物进行观察,观察的过程称为实验。试验通常用E表示。uW5红软基地
实例uW5红软基地
例1 E1 :掷一枚质地均匀的硬币,观察它出现正面和反面;uW5红软基地
例2  E2:掷一枚质地均匀的骰子,观察它出现的点数;uW5红软基地
例3  E3:记录某电话交换台一小时内接到的呼唤次数;uW5红软基地
例4  E4:一射手进行射击,直到击中目标为止,观察他的射击情况;uW5红软基地
例5  E5:在一批灯泡里,任取一只,测试它的寿命。 。uW5红软基地
上面五个实验有以下的共同特性:uW5红软基地
 (a)可以在相同的条件下重复进行;uW5红软基地
  (b)每次试验的可能结果不止一个,但事先明确试验的所有可能结果;uW5红软基地
  (c)每次试验之前不能确定哪一个结果会出现。uW5红软基地
    我们把具有上述三个特性的试验称为随机试验。uW5红软基地
关于事件的基本概念uW5红软基地
事件:随机试验的每一个可能结果(任何样本点集合),通常用字母A、B,、、、表示。uW5红软基地
例如:掷一枚骰子出现的点数为3uW5红软基地
随机事件:每次试验可能出现也可能不出现的事件uW5红软基地
例如:掷一枚骰子可能出现的点数uW5红软基地
必然事件:每次试验一定出现的事件,用U 表示uW5红软基地
例如:掷一枚骰子出现的点数小于7uW5红软基地
不可能事件:每次试验一定不出现的事件,用V 表示uW5红软基地
例如:掷一枚骰子出现的点数大于6uW5红软基地
二、样本空间uW5红软基地
基本的概念uW5红软基地
        试验的结果中每一个可能发生的事件叫做试uW5红软基地
验的样本点。通常用字母   表示。uW5红软基地
(解释基本事件)uW5红软基地
       试验的所有样本点                         构成的集合uW5红软基地
叫做样本空间,通常用字母    表示,所以,我们uW5红软基地
uW5红软基地
三   随机事件与样本空间的关系uW5红软基地
        随机事件或是基本事件,或是复合事件,因此随机事件是样本空间的子集。我们说事件发生是事件中的一个基本事件发生;反过来,如果某事件中的一个基本事件发生,则该事件发生。uW5红软基地
        任一随机事件都是样本空间的子集,该子集中任一样本点发生时事件即发生。由于样本空间中任一样本点发生时,必然事件都发生,所以必然事件是所有样本点构成的集合;这就是说,必然事件就是样本空间uW5红软基地
       由于样本空间中任一样本点发生时,不可能事件都不发生,所以不可能事件不包含任何样本点,即不可能事件是空集。uW5红软基地
§1.2 频率、概率统计定义及古典概型 uW5红软基地
主要内容uW5红软基地
                                  一、概率的统计定义uW5红软基地
                                 二、概率的古典定义— uW5红软基地
                                                      古典概型                          uW5红软基地
一、频率、概率的统计定义uW5红软基地
        如果在相同的条件下将试验E重复进行了n次,其中随uW5红软基地
机事件A恰好发生了m次,则比值m/n称为事件A发生的相uW5红软基地
对频率,简称频率。 m 又称为事件A发生的频数。 记为              uW5红软基地
                                                                       (2.1)         uW5红软基地
频率的基本性质:uW5红软基地
a. 对任一事件A,有 0≤        ≤1;    uW5红软基地
b.          =1;uW5红软基地
c.           =0.uW5红软基地
      能否用频率表示事件发生的可能性大小?uW5红软基地
频率的稳定性uW5红软基地
试验演示uW5红软基地
事件的概率(实例)uW5红软基地
       例如,投掷一枚硬币,观察正面出现的频率,随着投掷次数 n 的增大,出现正面和反面的频率稳定在1/2左右uW5红软基地
概率的统计定义uW5红软基地
事件A的概率是对事件A在试验中出现的可能性大小的一种度量uW5红软基地
随着重复试验次数的增多,随机事件A的频率uW5红软基地
       围绕某一常数p上下摆动,且波动的幅度逐渐减小,趋向于稳定,这个频率的稳定值(常数p) 表示了事件A在试验中发生的可能性大小,将这个介于0和1之间的数p称为事件A的概率(Probability ),记作uW5红软基地
概率的基本性质uW5红软基地
     a. 对任一事件A,有 0≤P(A)≤1;    uW5红软基地
     b. P(U)=1;uW5红软基地
     c. P(V)=0.uW5红软基地
概率的统计定义(备注)uW5红软基地
概率的统计定义给出了一个近似计算随机事件A的概率的方法:   当试验次数n充分大时,可用随机事件A的频率        作为随机事件A的概率P(A) 的近似值。uW5红软基地
概率的统计定义(实例)uW5红软基地
【例6】:某工厂为节约用电,规定每天的用电量指标uW5红软基地
为1000度。按照上个月的用电记录,30天中有12天的uW5红软基地
用电量超过规定指标,若第二个月仍没有具体的节电uW5红软基地
措施,试问该厂第一天用电量超过指标的概率。    uW5红软基地
二、概率的古典定义uW5红软基地
由于用概率的统计定义很难求出事件的概率,故人们想uW5红软基地
到在一些比较简单的情况下,用某种特殊的手段求出某uW5红软基地
些事件的概率。uW5红软基地
概率的古典定义uW5红软基地
设试验的样本空间总共有N个等可能的基本事件,其中有且仅有M个是包含于随机事件A的,则随机事件A所包含的基本事件数M与基本事件总数N的比值叫做随机事件A的概率,记作uW5红软基地
(2.18)    uW5红软基地
概率的古典定义 (备注)uW5红软基地
㈠古典概型的判断方法,uW5红软基地
㈡古典概率的计算步骤:uW5红软基地
       uW5红软基地
 ①弄清试验与样本点uW5红软基地
  uW5红软基地
 ②数清样本空间与随机事件中的样本点数uW5红软基地
③列出比式进行计算。            uW5红软基地
            uW5红软基地
概率的古典定义 (实例)uW5红软基地
【例7】从一批由9件正品,3件次品组成的产品中,uW5红软基地
        (1)一次抽取5件,求其中恰有两件次品的概率;uW5红软基地
        (2)无放回地抽取5次,每次抽1件,求其中恰有两件次品的概率;uW5红软基地
        (3)有放回地抽取5次,每次抽1件,求其中恰有两件次品的概率。uW5红软基地
计算结果uW5红软基地
解:(1)设所求事件的概率为P(A),显然基本事件总数为    ,A包含的基本事件数为       ,所以uW5红软基地
(2)设所求事件的概率为P(B),因为考虑顺序,所以基本事件总数为      ,B包含的基本事件数为          ,所以uW5红软基地
(3)设所求事件的概率为P(C),  基本事件总数    ,C包含的基本事件数               ,所以uW5红软基地
课堂练习uW5红软基地
一、  袋内有a个白球与b个黑球,每次从袋中任取一个球,取出的球不再放回去,接连取k个球,(k    a+b),求第k次取得白球的概率。uW5红软基地
二、  将15名新生随机地平均分配到三个班级中去,这15名新生中有3名是优秀生问:uW5红软基地
(1)每个班级各分配到一名优秀生的概率是多少?uW5红软基地
(2)3名优秀生分配在同一班级的概率是多少?uW5红软基地
§1.3  事件的关系及运算uW5红软基地
事件的关系和运算uW5红软基地
事件的包含uW5红软基地
事件的并或和uW5红软基地
事件的交或积uW5红软基地
互斥事件uW5红软基地
对立事件uW5红软基地
事件的差uW5红软基地
完备事件组uW5红软基地
事件的运算性质uW5红软基地
事件的关系和运算 (事件的包含)uW5红软基地
事件的关系和运算 (事件的并或和)uW5红软基地
事件的关系和运算 (事件的交或积)uW5红软基地
事件的关系和运算 (互斥事件)uW5红软基地
事件的关系和运算 (对立事件)uW5红软基地
事件的关系和运算 (事件的差)uW5红软基地
事件的关系和运算 (完备事件组)uW5红软基地
         如果n个事件中至少有一个事件一定发生,uW5红软基地
则称这n个事件构成完备事件组。uW5红软基地
设n个事件                     满足下面的式子:uW5红软基地
事件与集合的对应关系uW5红软基地
事件的关系和运算uW5红软基地
    例8  从一批产品中每次取出一个产品进行检验(每次取出的产品不放回),事件     表示 第   次取到合格品;试用事件的运算符号表示下列事件:uW5红软基地
三次中都取到了合格品;uW5红软基地
                             三次中至少有一次取到合格品;uW5红软基地
                             三次中恰有两次取到了合格品;uW5红软基地
                             三次中最多有一次取到合格品。uW5红软基地
事件的关系和运算 (实例)uW5红软基地
例9   抛一粒骰子,观察出现的点数。以uW5红软基地
      A 表示事件“点数小于4”;uW5红软基地
      B 表示事件“点数大于2”;uW5红软基地
      C 表示事件“点数为奇数”。uW5红软基地
事件的运算性质uW5红软基地
 设A、B、C为三个事件,则有uW5红软基地
逆事件uW5红软基地
分配律uW5红软基地
事件的运算性质uW5红软基地
和事件的逆uW5红软基地
积事件的逆uW5红软基地
§1.4 概率加法定理uW5红软基地
互斥事件的概率加法定理uW5红软基地
定理1,2uW5红软基地
推论1,2,3uW5红软基地
一般的概率加法定理uW5红软基地
定理3,4uW5红软基地
加法定理1uW5红软基地
  定理1uW5红软基地
      两个互斥(互不相容)事件之和的概率,等于两个事件概率之和。设A和B为两个互斥事件,则uW5红软基地
            P ( A+B ) = P ( A ) + P ( B )uW5红软基地
证明uW5红软基地
        (概率的古典定义)uW5红软基地
加法定理2uW5红软基地
  定理2uW5红软基地
      有限个互不相容事件之和的概率,等于这些事件概率之和。设事件A1,A2,…,An两两互斥,则有uW5红软基地
           P ( A1+A2 +… +An) uW5红软基地
           = P ( A1 ) + P (A2 ) + …+ P (An )uW5红软基地
推  论uW5红软基地
推论1uW5红软基地
      如果事件A1,A2,…,An构成互不相容的完备事件组,则这些事件的概率之和等于一:uW5红软基地
           P ( A1 ) + P (A2 ) + …+ P (An )=1uW5红软基地
推论2uW5红软基地
      对立事件的概率之和等于一:uW5红软基地
               P ( A ) + P (A)=1uW5红软基地
推论3uW5红软基地
    如果            则                以及uW5红软基地
概率加法定理 (实例1)uW5红软基地
加法定理3uW5红软基地
  定理3uW5红软基地
      对任意两个随机事件A和B,它们和的概率为两个事件的概率之和减去两个事件交的概率,即uW5红软基地
    P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A∩B ) uW5红软基地
证明:uW5红软基地
     ( 将A∪B分解为互斥事件的和 )uW5红软基地
加法定理4uW5红软基地
  定理4uW5红软基地
      任意有限个随机事件的和的概率可按下列公式计算:uW5红软基地
概率加法定理 uW5红软基地
课 堂 练 习uW5红软基地
AB=φ,P(A)=0.6,P(A∪B)=0.8,uW5红软基地
      求 B的逆事件的概率。uW5红软基地
设事件A发生的概率是0.6,A与B都发生的概率是0.1,A 与B 都 不发生 的概率为 0.15 ,uW5红软基地
      求 A 发生B不发生的概率;uW5红软基地
           B 发生A不发生的概率及P(A∪B).uW5红软基地
§1.6条件概率·  概率乘法定理uW5红软基地
条件概率uW5红软基地
乘法公式uW5红软基地
条件概率uW5红软基地
在事件B已经发生的条件下,求事件A发生的概率,称这种概率为事件B发生条件下事件A发生的条件概率,记为uW5红软基地
证明  见课本P21定理1uW5红软基地
条件概率的图示uW5红软基地
条件概率(备注)uW5红软基地
    (1) 区别P(B|A)与P(AB);uW5红软基地
    (2) P(B| )=P(B);   P(B|B)=1;  uW5红软基地
    (3) 若AB1, AB2互不相容,则有:uW5红软基地
            P(B1∪B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A);   uW5红软基地
    (4) P(   |A)=1-P(B|A)uW5红软基地
概率的乘法公式uW5红软基地
用来计算两事件交的概率uW5红软基地
以条件概率的定义为基础uW5红软基地
(定理2)设A、B为两个事件,uW5红软基地
      若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B),uW5红软基地
      若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A),uW5红软基地
       若P(A)>0, P(B)>0,  则 uW5红软基地
            P(AB)=P(A)P(B|A) =P(B)P(A|B)uW5红软基地
乘法公式的推广uW5红软基地
概率的乘法公式 (实例)uW5红软基地
计算结果uW5红软基地
解:  (1) 将n个座位分别编上号码1,2,、、n,第一天坐在号码为K的座位上的学生叫做第k个学生,以   表示事件第k个学生第二天上课时仍入座第一天位置上,k=1,2,、、、n, 则uW5红软基地
此题也可简单的考虑,即n个学生入座n个座位共 种方法,而n个学生恰好再入座第一天的位置仅一法,故uW5红软基地
(2)因为任一学生都等可能的坐到第k 个座位上,故正好编号为k的学生坐到第k个座位上的概率                  (k=1,2,、、n) , 而至少有一个学生入座第一天位置上这一事件便是uW5红软基地
从而uW5红软基地
§1.6全概率公式与贝叶斯公式uW5红软基地
全概率公式uW5红软基地
贝叶斯公式uW5红软基地
全概公式uW5红软基地
 设事件A1,A2,…,An两两互斥,  A1+A2+…+ An=uW5红软基地
    (互不相容的完备事件组),且P(Ai)>0(i=1,2, …,n),uW5红软基地
    则对任意事件B,有uW5红软基地
贝叶斯公式(逆概率公式)uW5红软基地
与全概公式解决的问题相反,贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因uW5红软基地
设n个事件A1,A2,…,An 两两互斥, A1+A2+…+ An= (互不相容的完备事件组) ,且P(Ai)>0(i=1,2, …,n),则uW5红软基地
贝叶斯公式(备注)uW5红软基地
贝叶斯公式(实例)uW5红软基地
§1.8  随机事件的独立性uW5红软基地
两个事件的独立性uW5红软基地
有限个事件的独立性uW5红软基地
两个事件的独立性uW5红软基地
有限个事件的独立性uW5红软基地
定义  n个事件A1, A2 , … , An相互独立,如果其中的任一事件Ai(i=1,2, …,n)与其它任意几个事件的积事件是独立的,即uW5红软基地
其中, m=1, 2, …, n-1uW5红软基地
      当m=1时,称n个事件两两独立uW5红软基地
事件的独立性(实例)uW5红软基地
事件的独立性(备注)uW5红软基地
§1.9  独立试验序列uW5红软基地
独立试验序列uW5红软基地
二项分布uW5红软基地
独立试验序列uW5红软基地
独立试验序列满足:uW5红软基地
每次试验只有两个结果:A或A;uW5红软基地
每次试验中每个结果出现的概率不变;uW5红软基地
各次试验之间相互独立;uW5红软基地
在相同条件下,试验可以重复进行。uW5红软基地
二项分布uW5红软基地
   二项定理:uW5红软基地
    如果在独立试验序列中,事件A发生的概率为p(0< p <1),则在n次试验中事件A恰发生m次的概率为uW5红软基地
举例uW5红软基地
例24 甲乙两个乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛,已知每一局甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4,比赛时,可采用三局二胜制或五局三胜制,问在哪一种比赛制度下,甲获胜的可能性比较大?uW5红软基地
例25  保险事业是最早使用概率论的部门之一,保险公司为了估计企业的利润,需要计算各种各样的概率,下面的典型问题之一,若一年中,某类保险者里面每个人死亡的概率等于0.005,现有10000个这类人参加保险,试求在未来一年中这些保险里面,(1)有40个人死亡的概率;(2)死亡人数不超过70个的概率。uW5红软基地
本章小结uW5红软基地
定义: 试验、结果、事件、样本空间、概率;uW5红软基地
事件间的关系和运算;uW5红软基地
基本公式、基本性质:uW5红软基地
古典概率的计算公式uW5红软基地
和事件的概率(加法定理):P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)uW5红软基地
          若A与B互斥,则 P(A+B)=P(A)+P(B)uW5红软基地
差事件的概率:     P(A-B)=P(A)-P(AB)uW5红软基地
积事件的概率 (乘法定理): P(AB)=P(B)P(A|B) uW5红软基地
    若A与B独立,则 P(AB)=P(A)P(B) uW5红软基地
条件概率   全概率公式   贝叶斯公式uW5红软基地
(n重伯努利试验)事件A恰好发生k次的概率uW5红软基地

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