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简介
这是如何求合同矩阵ppt，包括了二次型与它的标准型，实二次型与它的规范型，正定二次型与正定矩阵等内容，欢迎点击下载。
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高等代数（I） Advanced Linear Algebra
主讲教师: 高 峡 理科楼1478S gao_m_xia@yahoo.com.cn
助教: 邓剑 王威杨
大课 周三 3，4 节 理教 105
周五 1，2 节 理教 105
习题课 周三 9，10 节
文史 201 三教 101
课件下载:
http://www.ontoedu.pku.edu.cn/index.jsp
用户名：linearalg1 密码： linearalg1
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期末考试
2010 年 1 月 8 日
(周五) 下午 2:00
三教 503 505 507
作业：
§5.7 1 (1) (3)， 2， 4， 7;
§6.1 2， 3 (1) (3)， 7， 8， 11
§6.3 4， 6(1)(2)， 7(2)， 14
注：§5.7 1 要求计算二次型 XTA X 在
单位球面上的最大， 最小值， 在何处取到 ?
§6.1 8 要求写出二次型的规范型， 惯性指数.
第六章 二次型
1 二次型与它的标准型
2 实二次型与它的规范型
3 正定二次型与正定矩阵
用矩阵表示函数
二次齐次多项式 ( 二次型 ) :
三次齐次多项式 ( 三次型 ) :
三元二次型 :
三元二次型 :
三元二次型 :
三元二次型 :
三元二次型 :
每个 n 元二次型 f 都可以唯一地写成
f ( x1 ， x2 ，…， xn ) = XTA X
每个 n 元二次型 f 都可以唯一地写成
f ( x1 ， x2 ，…， xn ) = XTA X
的形式， A 是对称矩阵， X 变元列向量.
只需将平方项系数依次写在主对角线上，
交叉项系数对分后对称地写在矩阵相应
位置上.
每个 n 元二次型 f 都可以唯一地写成
f ( x1 ， x2 ，…， xn ) = XTA X
的形式， A 是对称矩阵， X 变元列向量.
对称矩阵 A 称为二次型的矩阵.
一一对应
二次型 f 对称矩阵 A
对 n 元二次型，
f ( x1 ， x2 ， … ， xn ) = XT A X
我们常做的操作是变量的非退化线性替换，
简称变量替换:
X = C Y ， C 是 n 阶可逆矩阵，
新变量 Y = C -1 X
将 X = C Y 代入 n 元二次型，
f ( x1 ， x2 ， … ， xn ) = XT A X
= ( C Y )T A ( C Y )
= YT CT A C Y
将 X = C Y 代入 n 元二次型，
f ( x1 ， x2 ， … ， xn ) = XT A X
= ( C Y )T A ( C Y )
= YT CT A C Y
得到 Y 的二次型 g = YT B Y ， 其对称矩阵
是 B = CT A C .
二次型的等价与矩阵的合同
如果存在变量替换 X = C Y， 将二次型
f = XTA X 变为 g = YT B Y ， 则称
二次型 f 与 g 等价.
如果存在可逆矩阵 C ， 使得 B = CTA C
则称矩阵 A 与 B 合同.
二次型 f = XTA X 与 g = YTB Y 等价
f 、g 的对称矩阵 A 与 B 合同.
二次型的等价满足反身性， 对称性， 传递性，
是全体二次型上的等价关系 .
类似的， 合同关系也是全体 n 阶矩阵上的
等价关系.
对称矩阵的合同分类问题
全体 n 阶对称矩阵在合同分类下被划分成
一个个等价类 .
在每一合同类中选一个 ‘好’ 的 ‘ 标准 ’的
对称矩阵 ( 合同标准型 ) 作为这个类的代表 ;
合同标准型的计算 ;
判断两个对称矩阵是否合同.
二次型的标准型
定理 : 若 f = XTA X 是数域 K 上的二次型
则存在 K 上可逆矩阵 C 及变量替换
X = C Y， 使得二次型
g = YT ( CTA C ) Y
只含平方项， 这样的二次型 g 称为 f 的
标准型.
对称矩阵的合同标准型
定理: 若 A 是数域 K上的对称矩阵，
则存在 K 上的可逆矩阵 C ， 使得
CT A C
是对角矩阵. ( 称为 A 的合同标准型)
注: 对称矩阵(二次型)的标准型不唯一.
但标准型对角线上非零元 (平方项非
零系数)个数唯一， 等于对称矩阵的秩.
化标准型的三种方式:
实对称矩阵正交对角化 ( 正交替换 ) ;
若 C 是正交矩阵， 变量替换 X = C Y
称为正交替换 ， 此时 Y = CT X
例: 求正交替换 X = Q Y 将二次型 f 化标准型
例: 二次曲面 S 在 X-坐标下的方程为
这是一个什么曲面? 椭球面?抛物面?
还是双曲面?
思路：做直角坐标变换
做正交替换 X = Q Y 相当于取新的直角
坐标系;
例: 二次曲面 S 在 X-坐标下方程为
正交替换应用最广泛
做正交替换 X = C Y 相当于取新的直角
坐标系;
做正交替换 X = C Y 计算二次型在单位
球面上的最大最小值;
主成分分析， 矩阵 SVD 分解 …
化标准型的三种方式:
实对称矩阵正交对角化 ( 正交替换 ) ;
配方法;
例2: 用配方法化二次型为标准型
通过以上两个例子，我们看到
定理 : 若 f = XTA X 是数域 K 上的
n 元二次型， 则存在 K 上的可逆矩阵 C
及变量替换 X = C Y， 使得二次型
g = ( CY )T A ( CY ) = YT ( CTA C ) Y
只含平方项， 这样的二次型 g 称为 f 的
标准型.
化标准型的三种方式:
正交替换;
配方法;
成对的初等行、列变换 .
成对的初等行、列变换化标准型
给定对称矩阵 A ， 求可逆矩阵 P ，
使得 PTA P 是对角矩阵 .
可逆矩阵都是初等矩阵的乘积
P = P1 P2 Ps
PTA P = PsT P2T P1TA P1 P2 Ps
成对的初等行、列变换化标准型
怎样求可逆矩阵 P ，
使得 PTA P 是对角矩阵 ?
P = P1 P2 Ps
PsT P2T P1T A P1 P2 Ps
P = I P1 P2 Ps
先做行变换， 再做对称的列变换， 会简单些
由结合律，几个行变换可一起做
用线性代数研究函数
对 n 元二次型， 我们有一套成熟的理论.
通过变量替换可以将其变为标准形式 ，
由此判断其非负性， 在单位球面上的最大，
最小值…
对大于二次的齐次多项式， 没有这样一套理论.
第六章 二次型
1 二次型与它的标准型
2 实二次型与它的规范型
3 正定二次型与正定矩阵
问题：
对 f 做不同的变量替换，得到的规范型
（正负惯性指数）总是一样的吗？
Quiz
全体 2 阶实对称矩阵在合同关系下分成
几类?
第六章 二次型
1 二次型与它的标准型
2 实二次型与它的规范型
3 正定二次型与正定矩阵
引理：等价的实二次型有相同的正定性
证: 设实二次型 XTA X 与 YTB Y 等价，
即存在可逆矩阵 C ， 使得 B = CTA C .
若 XTA X 正定， 即 0 ， TA > 0 .
则 0 ， 有 C 0 且
T B = T CTAC = ( C )T A C > 0 .
YTB Y 也正定.
等价的实二次型有相同的正定性
定理： n 元实二次型 f = XTA X 正定
f 的正惯性指数 = n
证: 实二次型 f 的正定性与它的规范型一致，而规范型正定当且仅当正惯性指数 = n .
等价的实二次型有相同的正定性
定理： n 元实二次型 f = XTA X 正定
f 的正惯性指数 = n .
等价的实二次型有相同的正定性
定理： n 元实二次型 f = XTA X 正定
f 的正惯性指数 = n .
用顺序主子式判定矩阵正定性.
例：设 1 2 n 是实对称矩阵 A 的
特征值，判断 A - I 的正定性 .
当 < n 时 ， A - I 的正定；
当 > 1 时 ， A - I 的负定；
... ...
See you next time
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