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高等流体力学 6 Navier-Stokes 方程的解 6 Navier-Stokes方程的解 由于Navier-Stokes方程含有非线性项，而数学上至今尚未找到求解非线性偏微分方程的普遍方法，所以Navier-Stokes方程无一般的精确解法。但是，对一些物理现象简单的流体流动问题，能够获得Navier-Stokes方程的精确解。 6 Navier-Stokes方程的解 非线性是求解Navier-Stokes方程的主要困难所在，据此，可以将求Navier-Stokes方程精确解的问题分成两大类： 6 Navier-Stokes方程的解 ①根据流动问题的性质，可以使Navier-Stokes方程中的非线性项全部消失，控制流体流动的Navier-Stokes方程变成线性方程，于是便可以求出这一线性方程的精确解，这类问题通常是不可压缩流体流动，其流线形状(对于定常流动，是流体质点的迹线形状)事先易于假定； 6 Navier-Stokes方程的解 ②根据流动问题的性质，虽然保留有非线性项，但它的形式简单，Navier-Stokes方程成为简单的非线性偏微分方程，从而求得其精确解。 (例如：通过坐标的相似变换方法，将简单的非线性偏微分方程化为常微分方程，然后求得其精确解。) 6 Navier-Stokes方程的解 自1887年Navier-Stokes方程发表后，人们在很长一段时间中一直探索着Navier-Stokes方程的精确解。然而，从20世纪50年代起，人们就不怎么热心于寻找Navier-Stokes方程的精确解了。 主要原因有三个： 6 Navier-Stokes方程的解 ①Navier-Stokes方程存在固有的非线性问题，使得数学求解十分困难； ②自1904年Prandtl提出边界层理论以后，许多粘性流体流动问题可以采用近似理论(例如边界层理论)来解决； ③随着大型电子计算机的出现和不断升级，使得Navier-Stokes方程的数值求解成为可能。 6 Navier-Stokes方程的解 讨论Navier-Stokes方程的精确求解，目的有： ①能使学习者对流体力学发展历程中的若干典型解法有所了解，以利于开阔解决流动问题的思路； ②能使学习者对一些粘性流体流动问题及其基本特性有所了解，或许有助于求解较为复杂的流动问题； ③有时可以用这些精确解来检验某种近似解法的准确性与适用性。 6 Navier-Stokes方程的解 Navier-Stokes方程的精确解仅限于层流问题，湍流问题不可能有精确解。 6.1 平行流动 6.1 平行流动 不可压缩流体的平行流动是最简单的一类流动，它只有一个不为零的速度分量，所有流体质点都沿同一个方向运动。在直角坐标系中，如果把流体运动方向取作x轴，那么，由连续性方程得 即：运动速度u与坐标轴x无关， 6.1 平行流动 为方便起见，忽略质量力，X＝Y＝Z＝0，将此代入N-S方程的y、z方向项： 得到 6.1 平行流动 可见，压强与坐标轴y、z无关，只是坐标轴x的函数 将上述式子代入N-S方程的x方向项，得 这就是不可压缩流体平行流动的线形二阶偏微分方程。 6.1.1 Couette(库埃特)剪切流 设有两无限大平行放置的平板，两板相距h。下板固定，上板以向右的速度U作匀速直线运动，如下图所示。取x轴与下板重合，y轴垂直于板面，z轴则垂直于纸面向外。 6.1.1 Couette (库埃特)剪切流 按不可压缩流体的定常平行流动考虑。因为平板无限宽，所以流体流动速度在z方向上的变化率为零，即 ， ， N-S方程的x方向项简化为 相应的边界条件为 y＝0，u＝0 y＝h，u＝U 6.1.1 Couette (库埃特)剪切流 方程的左侧项是坐标x的函数，而右侧项是坐标y的函数，则 只与y有关，与x无关。同时满足这两方面要求，方程成立的条件就是 6.1.1 Couette (库埃特)剪切流 由边界条件y＝0，u＝0，得C2＝0 y＝h，u＝U，得 因此 无量纲速度 式中： 6.1.1 Couette (库埃特)剪切流 流体通过某断面的单宽流量为 由此可以看出，上述流速分布由dp/dx＝0时的流速分布及U＝0， dp/dx≠0时的流速分布叠加而成。下图给出了不同压强梯度(图中用不同的B表示)下的流速分布。 6.1.1 Couette (库埃特)剪切流 6.1.1 Couette (库埃特)剪切流 ①当B＝0时， ，纯剪切流，为零压强梯度下的平行平板Couette剪切流，流速呈线性分布； 6.1.1 Couette (库埃特)剪切流 ⑦当B=-3即时，Q＝0，逆压梯度对流动的回流作用与上板拖动形成的流量相平衡。 6.1.2 Poiseuille(泊肃叶)流动 Poiseuille流动是指顺压梯度推动槽内、管内的不可压缩粘性流体流动。 (1) 不可压缩粘性流体通过槽内的定常流动 6.1.2 Poiseuille流动 (1) 不可压缩粘性流体通过槽内的定常流动 上图为不可压缩粘性流体通过二维槽内的定常流动，z方向为无穷长。流动的基本方程为 相应的边界条件为 y＝b，u＝0 y＝-b，u＝0 积分，得 6.1.2 Poiseuille流动 (1) 不可压缩粘性流体通过槽内的定常流动 由边界条件y＝b，u＝0，得 y＝-b，u＝0，得 解得 C1＝0； 因此 6.1.2 Poiseuille流动 (1) 不可压缩粘性流体通过槽内的定常流动 流速分布为抛物线型。最大流速出现在两板中心处(y＝0) 单位宽度槽内流量为 断面平均流速为 6.1.2 Poiseuille流动 (2) 充分发展的圆管层流流动 管道内部流动是N-S方程精确解中最具实际意义的流动之一。由于粘性流体在管道入口的一段距离内存在着边界层发展的过程，流速在剖面上的分布是沿程变化的，下面只研究入口段以后充分发展了的管内层流流动。 6.1.2 Poiseuille流动 (2) 充分发展的圆管层流流动 采用圆柱坐标系(r，θ，x)，ur＝0，uθ＝0，只有x方向的流速ux＝u(r)不为零。 由连续性方程 可得 6.1.2 Poiseuille流动 (2) 充分发展的圆管层流流动 流动的N-S方程可写为 由上述可知，压强p只与x坐标有关而与(r， θ)坐标无关， p＝p(x) 6.1.2 Poiseuille流动 (2) 充分发展的圆管层流流动 这样便得 等式左侧项是坐标x的函数，而右侧项是坐标r的函数，由此可见dp/dx只能是一常数。 6.1.2 Poiseuille流动 (2) 充分发展的圆管层流流动 积分，得 在圆管轴心处(r＝0)，由于du/dr≠，所以r·du/dr＝0，从而C1＝0。再积分，得 利用边界条件：r＝r0，u＝0，得 6.1.2 Poiseuille流动 (2) 充分发展的圆管层流流动 流速分布公式为 最大流速出现在管路中心处(r＝0) 管内流量为 6.1.2 Poiseuille流动 (2) 充分发展的圆管层流流动 断面平均流速为 这就是不可压缩粘性流体圆管内充分发展层流的N-S方程精确解。它只适用于圆管层流，即Re＝Vd/ν < 2000。 6.1.2 Poiseuille流动 (2) 充分发展的圆管层流流动 考虑水平放置的等径直圆管，Bernoulli方程可表示成 沿程水头损失为 而 6.1.2 Poiseuille流动 (2) 充分发展的圆管层流流动 因此 或 其中： 6.2 运动平板引起的流动 6.2.1 突然加速平板引起的流动 设有一无界(无限长、无限宽)平板，其上部的无限空间充满静止的不可压缩粘性流体，初始时刻(t＝0)平板与流体都处于静止状态。某瞬时平板由静止突然加速，在自身平面内以速度U0作等速运动，并带动平板上部的流体运动。 此流动问题由斯托克斯(Stokes)于1851年提出并给出解答，所以称为斯托克斯第一问题。 6.2.1 突然加速平板引起的流动 在平板起动的瞬时，只有粘附在平板上的流体质点获得速度U0而与平板一起运动，流场其余部分仍处于静止状态。随着时间的增加，平板上方的流体被逐层牵连而产生平行于无限大平板的运动。 6.2.1 突然加速平板引起的流动 突然加速平板引起的流动可以看成平面二维流动：uz＝0，/z＝0；和平行流动：uy＝uz＝0。 由平行流动的连续性方程，得 所以 ux＝u(y，t) 由于平板为无限大，在x方向为无限长，因此可以认为流动参数沿x方向不变，即/x＝0。 6.2.1 突然加速平板引起的流动 对于压强p，有 而利用y方向的N-S方程，有 由此可知，在整个流动区域，压强p处处相等，为一常数。 p＝p＝Const. 6.2.1 突然加速平板引起的流动 x方向的N-S方程可表示为 这就是突然加速平板引起的非定常流动基本方程，N-S方程中的非线性项全部消失，控制流体流动的方程变成线性方程。 该方程的定解条件为 初始条件：t＝0，u＝0 ( y≧0) 边界条件：y＝0，u＝U0 ( t >0) y，u＝0 ( t >0) 6.2.1 突然加速平板引起的流动 上述方程与有两个自变量(y，t)的经典热传导方程形式相同，数学上有不少方法可以用来求解这类方程，现采用相似变换法进行求解。 引入无量纲自变量(相似变量)和无量纲速度 由此可得 6.2.1 突然加速平板引起的流动 x方向的N-S方程变为 或者 这样，偏微分方程变成了常微分方程。 上述方程的边界条件：＝0，f()＝1； ，f()＝0。 6.2.1 突然加速平板引起的流动 积分上述常微分方程 再进行定积分 利用边界条件：＝0，f()＝1；，f()＝0，得 6.2.1 突然加速平板引起的流动 因此得到无量纲速度函数 或者 上述式子中的积分之比称为误差函数(error function)，用erf()表示。 6.2.1 突然加速平板引起的流动 由于存在如下极限 所以 流速分布可表示成 1-erf()称为补偿误差函数，用erfc()表示。 6.2.1 突然加速平板引起的流动 下图为无量纲速度分布曲线。左图为u/U0随变化的一条曲线；右图绘出了u/U0随y变化的关系曲线，其在各个时刻的速度分布曲线不一样，是一簇曲线。由此可见，通过相似变量把一簇曲线变成了一条曲线。 6.2.1 突然加速平板引起的流动 6.2.1 突然加速平板引起的流动 分析右图可知，在距平板一定距离的某固定点上，流体速度是随时间增加而增加的，当时间t时，流体才和平板有相同的速度U0；在某固定时刻，流速是随距平板距离y呈误差函数规律而衰减的，在距板面无穷远处(y)流速降为零。 从左图中可以看出，愈大，u/U0愈小，当＝2时，u/U0≈0，即u≈0。 6.2.1 突然加速平板引起的流动 因此，可以认为粘性作用显著的区域仅限于板面附近，定量地认为，流体粘性作用仅局限在＝2的边界线以内，由此可得粘性影响的边界层厚度y 粘性影响的边界层厚度与运动粘性系数和时间之和的平方根成正比。这一结果也表明，离开平板以外的地方，流体几乎不动了。 6.2.1 突然加速平板引起的流动 平板璧面上的切应力 由于 6.2.1 突然加速平板引起的流动 平板面上的局部摩擦阻力系数(当地阻力系数)Cf为 若令 则有 由此可见，阻力系数Cf与雷诺数Re的平方根成反比。 6.2.2 周期性振动平板引起的流动 设有一无限平板在自身所在的平面内作简谐振动，通过粘性而带动周围原来处于静止的流体形成的流动，也称为斯托克斯第二问题。 6.2.2 周期性振动平板引起的流动 如上图所示，x轴位于平板上，y轴与平板壁面垂直。振动平板引起的流动同样可以看成平面二维流动：uz＝0，/z＝0；和平行流动：uy＝uz＝0。流体运动速度u(y，t)同样符合线性化的N-S方程 相应的边界条件为：u(0，t)＝U0 cosωt (平板璧面上) u(∞，t)＝0 (无穷远处) 6.2.2 周期性振动平板引起的流动 根据边界条件的形式，可以采用分离变量方法求解上述热传导方程，获得的速度分布为 式中： 为简谐振动的波数 6.2.2 周期性振动平板引起的流动 ① 流体速度按指数衰减的简谐振动规律随时间t和坐标y而变化； ② 流场的振动频率等于平板的振动频率ω； ③ 振幅为U0exp(-ky)，且随y值的增加按指数规律衰减，在平板处(y＝0)，振幅为最大； ④ 在与平板相距y处的流体层，其简谐振动相对于平板振动的相位滞后为ky； ⑤ 振动的波长为 (即两速度相位相同的流体层间距，波长也称粘性波的穿透深度)。 6.2.2 周期性振动平板引起的流动 6.2.2 周期性振动平板引起的流动 6.2.2 周期性振动平板引起的流动 知道了流速分布，便可求得平板的壁面切应力
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