截图
简介
这是高级宏观经济学ppt，包括了矩阵代数，概念检验，微积分中的一些有用结论，积分的微分法则，对定积分微分的莱布尼兹法则，一阶常微分方程的解法，线性常微分方程系统，静态最优化，动态最优化等内容，欢迎点击下载。
高级宏观经济学ppt是由红软PPT免费下载网推荐的一款课件PPT类型的PowerPoint.
数学训练的重要性在于它可以使各种关系的表达和经济学的推理变得更加简捷、严谨和清晰。 —— 阿尔弗里德.马歇尔 一、矩阵代数 1、特征值和特征向量 令A是n×n方阵，v是非零的n维向量，a是纯量（实数或复数），使得Av=av，则称a是A的特征值，v是A对应于特征值的特征向量。 上式可写成：(A-aI)v=0，如果想要v不为零，则（A-aI)的行列式必为零，即det(A-aI)=0。该式被称为特征方程。 特征方程的解就是A的特征值，每一个特征值都确定一个特征向量。 2、矩阵的对角化 将矩阵A的特征向量组成一个矩阵V（特征向量矩阵），将A的特征值组成一个对角矩阵D，则：V-1 AV=D 3、结论 第一，如果所有的特征值都不相同，那么特征向量矩阵是非奇异的，即det(V)≠0。 第二，特征值对角矩阵的行列式与迹（主对角线上各元素之和）分别等于原始矩阵的行列式与迹。 概念检验 二、微积分中的一些有用结论 1、隐函数法则 当f(x1，x2)=0时，隐含着x2是x1的一个函数，隐函数定理用来计算x2对x1的导数： 2、泰勒定理 令f（x）是一元函数。泰勒定理认为围绕点x*的函数的近似式为： 概念检验：计算积分 6、积分的微分法则 对定积分微分的莱布尼兹法则 一、导论 变量为导数的方程称为微分方程。 如果只有一个自变量，称为常微分方程（ODE）。 常微分方程的阶是方程中最高导数的阶数。 宏观经济学使用的ODE都是对时间的导数。 例： 若x(t)是常数，方程被称为自控的（一个方程仅通过变量y而依赖于时间t，即t不独立出现）。 若x(t)＝0，方程被称为齐次的。 微分方程的解法 求解微分方程的目的在于找到变量的变化特征。 第一种解法：图解法。只能用于自控方程。 第二种解法：解析法。可以找到精确的解，只能用于线性函数。 第三种解法：数值分析。使用现存软件，如Matlab的子程序ODE23和ODE45。 二、一阶常微分方程的解法 1、图解法。 例1：一阶线性自控常微分方程： 其中a和x是常数且大于0。 以y为横轴，以 为纵轴。由于 是y对时间的导数，因此， 为正时，意味着y随着时间的变化而增加； 为负则减少。 图形为直线。 在纵轴的截距为-x，在横轴的截距为-x/a。 在y*点，＝0，即y不会随时间而变化，y*称为y的稳态值。 当y>y*， <0， y随时间而减少。反之则增加。 练习：当a<0的动态。 例2：非线性函数的动态。 微分方程： 其中s、α和δ都是正常数，且α<1。 微分方程稳定性总结 对于微分方程： 当 时，可以找出稳态值y*。 若 ，即函数在稳态处的斜率为正，则y是局部不稳定的。 若 ，即函数在稳态处的斜率为负，则y是局部稳定的。 2、解析解 常系数一阶线性微分方程： 求解步骤： 第一：把所有涉及y及其导数的项放在方程的一边，把其余项放在方程的另一边； 第二：两边同乘以eat并积分； 第三：计算出y(t)。 练习：求解微分方程 例1： 解答：移项、在两边同乘以e-t并积分： 可以解出通解：y(t)=-1+bet 。要想得到特解，需要知道边界条件。 例2：已知人口增长率为n，计算人口数量的动态变化。 解答：L(t)=L(0)ent 三、线性常微分方程系统 线性常微分方程系统的求解 n个微分方程组成的系统： 其中， 、y(t)和x(t)是n维列向量，A是常系数的n×n方阵。 微分方程系统解法： 第一种：相位图。简单地提供了定性解，但只适用于2×2系统以及有稳态地自控方程； 第二种：解析解。 第三种：数值法。用时间消去法。 1、相位图 （1）对角系统： 以y1为横轴，以y2为纵轴，平面中的每一点都代表了系统（y1，y2）在任一给定时刻的位置。 相位图的目标：把由两个微分方程所隐含的动态转换为一个描述了经济随时间的定性行为的箭头系统。 情形1：a11>0且a22>0：系统不稳定。 情形2：a11<0且a22<0：系统稳定。 情形3： a11<0且a22>0：鞍点路径稳定。 （2）非对角系统 初始条件为y1(0)=1和终端条件 的轨迹是直线y2=0.06y1+1.4 在直线的下方， y2<0.06y1+1.4， ，即在该区域y1递增；同理，在直线的上方区域y1递减。 的轨迹是直线y1=10 在直线的左边， ， y2递减；右边递增。 具有鞍点路径稳定性的非对角系统的相位图 非对角系统稳定性：结论 1、系数矩阵的两个特征值是正实数，系统不稳定。 2、两个特征值是负实数，系统稳定。 3、两个特征值是实数但异号，系统是鞍点路径稳定。 4、两个特征值是有负实部的复数，系统振荡收敛。 5、两个特征值是有正实部的复数，系统振荡且不收敛。 6、两个特征值是有零实部的复数，系统轨迹是环绕稳态运动的椭圆。 7、两个特征值相等，解为y(t)=(b1+b2t)eat （3）非线性系统 解答： 的轨迹为：c=k0.3; 轨迹为k=10。 将k和c的动态结合到一起，系统的稳态是两条轨迹的交点。 系统是鞍点路径稳定的。 解题思路 一、无约束极大值 一元函数在闭区间［a，b］中极大值条件： 在极大值处，一阶导数为零，二阶导数小于零。 多元函数极大值条件： 必要条件是在该点处所有偏导数等于零，充分条件是函数严格凹（海赛矩阵是负定的）。 二、古典非线性规划 2、不等式约束：库恩－塔克条件 优化问题：max［ u(x1，…，xn) ］ s.t. g1(x1，…，xn)≤a1 ------- gm(x1，…，xn)≤am 库恩－塔克条件： Du(x)=∑μiDgi(x) gi(x)≤ai，μi≥0 μi［a-gi(x)］=0 该条件被成为互补松弛性条件 方法1：贝尔曼的动态规划 方法2：庞特里亚金的极大值原理 一、典型问题 二、动态最优化求解步骤
展开
